פרגה – יסודות האריתמטיקה

פרגה – יסודות האריתמטיקה

רקע על הספר

• המטרה: להגדיר מהו מספר.
• בסוף הספר יש הגדרה מדויקת למספר => נשבר לאחר ה"פרדוכס של ראסל".
• הטענה המרכזית של "יסודות האריתמטיקה": האריתמטיקה היא לוגיקה (או נשענת על הלוגיקה). ההבחנה בין דמיון לשכל => אמפירציסטים-רציונאליסטים => נתוני החושים-לוגיקה פורמאלית. הטענה: יש קשר בין האריתמטיקה לחושים, אבל היא נסמכת ומוכחת רק מהלוגיקה.

המוטיבציה להגדיר את המספר:

• כוון פילוסופי – התנגדות לגישה הקנטיאנית הרואה באריתמטיקה תחום אפריורי סינטטי. פרגה יטען שהיא כולה לוגית, אפריורית אנליטית בשפת קאנט. (הבעיה של קאנט הייתה שהוא לא הכיר את הלוגיקה הפרגיאנית).
• כוון מתמטי – ההתפתחות המתמטית מהמאה ה-18 ל-19: פרגה הגיב לתהליך התפתחותי בו:

–          המתמטיקה החלה להתנתק מהאינטואיציות הטבעיות. כך, המתמטיקה החלה לחקור שאלות מתמטיות מופשטות שאינן נתונות ו/או קשורות להסתכלות החושית, כגון שאלות על האין סוף.

–          יותר ענפים במתמטיקה קיבלו הוכחות מתמטיות ללא להסתמך על ניסיון. מכיוון שבתקופתו של פרגה כבר היה ניתן להגדיר את כל המספרים הרציונאלי והממשיים באמצעות הגדרות מתמטיות טהורות אשר התבססו על קיומם של המספרים הטבעיים וכל שנשאר הוא להגדיר את המספרים הטבעיים שהגדרה עצמאית שלהם יכולה לבסס את כל המתמטיקה באופן מנותק מהניסיון.

• המספר (הספציפי) הוא הבסיס של המדע. המשימה לבירור מהו היא הכרחית.
• ·         למספר יש הגדרה. אם אין הגדרה, כל אחד יכול להחליט לעצמו מהו מספר, כלומר כל אחד יכול להגדיר לעצמו. במקרה כזה לא יהיה קשר בין ההגדרות. דברים שמחזקים את הטענה שלמספר ספציפי צריכה להיות הגדרה:

–          למספר ספציפי יש תכונות שייחודיות לו – למשל במה הוא מתחלק

–          לא ניתן להחליף מספר ספציפי באובייקט אחר במשוואות – למשל במשוואה 1+1=2 לא ניתן להחליף את 1 ב"ירח", למרות שכן ניתן להחליף את a בירח במשוואה a+a-a=a.

• הספר הוא מאמץ לעורר חקירה בנושא הגדרת המספר.

התנגדויות לניסיונות קודמים להגדרת המספר

• ·         התנגדות לפסיכולוגיזם: לא נקבל בתור הגדרה למספר תמונה מנטלית, או תנועות עצבים. מצבי התודעה הם לא קבועים, בניגוד למספרים.
• התנגדות לביהוויורליזם: טענה לא מפסיקה להיות נכונה אם מפסיקים לחשוב עליה בדיוק כמו שהשמש לא נעלמת כשעוצמים עיניים.
• ·         התנגדות לגישה ההיסטורית הרואה במתמטיקה אבולוציה: חקר המספרים בכלל לא נזקק לחקר מאיפה הם צצו.
• ·         התנגדות לנטורליזם: התוכן של המשפט ומשמעותו הם אינם דברים הנתונים בטבע. הטבע לא יכול לסייע במציאת ההגדרה או התוכן של משפטים. מחשבה היא מה שמועמד להיות אמיתי או שקרי, ולא האקט עצמו (כפי שבא לידי ביטוי בטבע).
• התנגדות להסתמכות על האמפיריציזם כמקור הגדרה לאריתמטיקה: הדימויים והדמיונות שיש לנו לא יכולים להסביר מהו מספר. כל הדימויים שבראשנו הם נזילים ולא מוגדרים, לעומתם המספרים הם חד משמעיים. מיל טען שהמתמטיקה מסתמכת על אינדוקציה.

3 עקרונות שמגדיר פרגה לחקירה

• להפריד בין הפסיכולוגי (הסובייקטיבי) ללוגי (אובייקטיבי): אחד הדברים החשובים ביותר בפילוסופיה האנליטית היא שלהתרחשויות בניסיון אין כל חשיבות ואם אנחנו רוצים לדעת את מובנה של ידיעה אפריורית עלינו לנתח אותה באופן לוגי לחלוטין. לפי פרגה, כאשר שני אנשים חושבים על משהו לוגי הם יכולים להיות בטוחים שהם חושבים על אותו הדבר בעוד שאיש אינו יודע על מה אדם חושב ולמה הוא מתכוון כאשר הוא משתמש בדמיון. פרגה חושד בקאנט בפסיכולוגיזם, דהיינו, כי הוא מבלבל בין הלוגיקה והפסיכולוגיה.
• עיקרון ההקשר: לעולם לא לשאול על משמעותה של מילה כאשר היא מבודדת אלא תמיד בהקשר. לדעת את משמעותה של מילה משמעותו לדעת אותה ביחס למילים האחרות בהן היא מופיעה. אם אנחנו מוציאים מילה מהקשרה וחושבים על משמעותה ניתן לה את המשמעות של הנטייה הטבעית שהיא מעוררת בנו כאשר למילה אין משמעות כאשר היא נפרדת. עיקרון ההקשר מעניק לפרגה את היכולת להעניק לדברים הגדרות קונטקסטואליות. אם עקרון זה לא נשמר נאלצים להגדיר מילים ע"י תמונות מנטאליות ומפרים את העיקרון ה-1.
• ·         לשמור על ההבחנה בין מושג לאובייקט.

סיכום עד עתה: (1) מטרת הספר היא למצוא הגדרה למספר ספציפי (למשל להגדיר מהו 1 או 2). (2) החקירה תהייה לוגית חמורה ותתרחק מפסיכולוגיזם. (3) המספר הוא הבסיס של המתמטיקה והמדע ולכן הכרחי להבין מהו.

• ·         בראייה רחבה: להעמיד את המתמטיקה על הלוגיקה הטהורה דרך השפה. המספרים זה מאמץ ראשון.

דחייה של טיעונים מתחרים על הגדרת המספר:

• ·         מספר כתכונה של אובייקטים
• ·         מספר כדימוי סובייקטיבי
• ·         מספר כיחידות מספריות

המהלך של הטיעון של פרגה – מספר הוא אובייקט עצמאי

1. רוצים לדעת מהו מספר, על מנת לבסס את המתמטיקה, שכן ללא בירור של ההגדרות אי אפשר להיות בטוחים שאין סתירות פנימיות.
2. מספר הוא אובייקט עצמאי, כלומר הוא אינו תכונה או פרדיקט. הסיבה לכך היא שבטענות על מספרים אנו משתמשים ביידוע, וזה סימן שהם מושאים ע"פ המאמר "מושג ואובייקט". כל מקום שבו מספר מופיע כלא מיודע ניתן לשנות את הניסוח כך שכן יהיה מיודע.
3. המספר הוא אובייקט עצמאי, למרות שאין לו תמונה מנטלית (אידאה) או מקום במרחב (פיזיקאלי).
4. יש למילים משמעות רק כשהן בתוך ההקשר של טענה.
5. הטענה שממנה נלמד מהו מספר היא טענת זהות. כמו שניתן ללמוד מהו כיוון מישרים מקבלים וללמוד מהי צורת משולש ע"י דמיון משולשים.
6. מהו שוויון? שני דברים שווים אחד לשני אם ניתן להחליף את האחד באחר ללא אובדן של ערך אמת.
7. מה נלמד מהשוויון? מתוך השוויון ניתן לומר:   באותו אופן למספר: "המספר ששייך למושג F הוא הרחבה של המושג "שווה למושג F"